Hamming Code(7,4)

Hamming-Code oder besser gesagt (7,4)-Hamming-Code ist ein Code bei den Daten (Nachricht) gesendet wird + eine Prüfsumme.

Die Prüfsumme ist nur da zu überprüfen ob ein Bit-Fehler (Bit-Invertierung) passiert ist.

Die ersten 4 Bits sind die Nachricht und die letzten 3 sind die Prüfbits.
$x_1$ = 0
$x_2$ = 0
$x_3$ = 1
$x_4$ = 1
$x_5$ = 1
$x_6$ = 0
$x_7$ = 1

Um die Nachricht zu überprüfen lautet folgende Regel:
$x_5$ = ($x_2$ + $x_3$ + $x_4$) mod 2
$x_6$ = ($x_1$ + $x_3$ + $x_4$) mod 2
$x_7$ = ($x_1$ + $x_2$ + $x_4$) mod 2

Das heißt die Ergebnisse von $x_5$(1), $x_6$(0), $x_7$(1) müssen mit den Formel einstimmen.

$x_5$ = ($x_2$ + $x_3$ + $x_4$) mod 2
$x_5$ = (0 + 1 +1) mod 2
$x_5$ = (2) mod 2
$x_5$ = 0 ❌

$x_6$ = ($x_1$ + $x_3$ + $x_4$) mod 2
$x_6$ = (0+1+1) mod 2
$x_6$ = (2) mod 2
$x_6$ = (2) mod 2
$x_6$ = 0 ✅

$x_7$ = (0+0+1) mod 2
$x_7$ = (1) mod 2
$x_7$ = 1 ✅

Wie wir oben sehen können $x_5$ stimmt nicht.
um zu überprüfen welche Bit in die Nachricht falsch ist müssen wir nur die 3 Formel unter einander stellen (ohne mod 2) und die Bits vergleichen.

$x_5$ = $x_2$ $x_3$ $x_4$ ❌
$x_6$ = $x_1$ $x_3$ $x_4$ ✅
$x_7$ = $x_1$ $x_2$ $x_4$ ✅

Das heißt den Bit-Fehler soll in $x_5$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ stehen, aber da $x_6$, $x_7$ und alle ihren Nachfolger richtig sind. Muss den Bit-Fehler nut $x_5$ sein.

Korrekt Codewört: 0011001

$x_1$ = 1
$x_2$ = 1
$x_3$ = 1
$x_4$ = 0
$x_5$ = 1
$x_6$ = 0
$x_7$ = 1

$x_5$ = (1 + 1 + 0) mod 2
$x_5$ = 2 mod 2
$x_5$ = 0 ❌

$x_6$ = (1 + 1 + 0) mod 2
$x_6$ = 2 mod 2
$x_6$ = 0 ✅

$x_7$ = (1+ 1 + 0) mod 2
$x_7$ = 2 mod 2
$x_7$ = 0 ❌

$x_5$ = $x_2$ $x_3$ $x_4$ ❌
$x_6$ = $x_1$ $x_3$ $x_4$ ✅
$x_7$ = $x_1$ $x_2$ $x_4$ ❌

Da wir 2 Fehler haben ($x_5$ und $x_7$) müssen wir vergleichen welche Xs sie gemeinsam haben ($x_2$ und $x_4$), aber da $x_4$ zu $x_6$ gehört und da kein Fehler ausgetaucht ist. Können wir mit Sicherheit sagen, dass $x_2$ eine Bit-Fehler enthält.

Korrekt Codewört: 1010101