Binärzahl

Es ist ein Zahlsystem, bei dem man nur zwei Zahlen benutzt (1 und 0).

	-
1	-	True	ON
0	-	False	OFF

2¹⁰	2⁹	2⁸	2⁷	2⁶	2⁵	2⁴	2³	2²	2¹	2⁰
1024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1

System zur Angabe von Speichergröße

Wir wissen, dass 8 Bits genau 1 Byte entsprechen.

Es gibt aber andere Zahlenbereiche, diese lassen sich in zwei Gruppen unterscheiden:

Internationales Einheitensystem (SI)

Es verwendet Dezimalpräfixe basierend auf Vielfachen von 1.000

1 Kylobyte (KB) = 1.000 Byte

1 Megabyte (MB) = 1.000 Kylobyte = 1.000.000 Byte

1 Gigabyte (GB) = 1.000 Megabyte = 1.000.000 Kylobyte = 1.000.000.000 Byte

1 Terabyte (TB) = 1.000 Gigabyte = 1.000.000 Megabyte = 1.000.000.000 Kylobyte = 1.000.000.000.000 Byte

Internationale Elektrotechnische Kommission (IEC)

Es definiert binäre Präfixe, basierend auf Vielfachen von 1.024

1 Kibibyte (KiB) = 1.024 Byte

1 Mebibyte (MiB) = 1.024 Kibibyte = 1.048.576 Byte

1 Gibibyte (GiB) = 1.024 Mebibyte= 1.048.576 Kibibyte = 1.073.741.824 Byte

1 Tebibyte (TiB) = 1.024 Gibibyte = 1.048.576 Mebibyte = 1.073.741.824 Kibibyte = 1.099.511.627.776 Byte

Klausur-Klassiker: „Wo ist mein Speicherplatz hin?"

Festplatte mit 800 GB gekauft → das Betriebssystem rechnet binär und zeigt weniger an:

800 \cdot \frac{10^{9}}{2^{30}} \approx 745 GiB (aber als „GB" beschriftet)

Es gibt mehrere Möglichkeiten, aber oft wird das hier verwendet:

96 zu Binär

Zahl	:2	Ergebnis	Rest
96	:2	48	0
48	:2	24	0
24	:2	12	0
12	:2	6	0
6	:2	3	0
3	:2	1	1
1	:2	1	1
0

Jetzt müssen wir den Rest rückwärts zählen.
D.h: 96 in Binär ist 1100000

11001101

Die Zahl 11001101 in Tabelle einsetzen

2¹⁰	2⁹	2⁸	2⁷	2⁶	2⁵	2⁴	2³	2²	2¹	2⁰
			1	1	0	0	1	1	0	1

überall, wo eine 1 steht, summieren. D.h
2⁰+2²+2³+2⁶+2⁷
1 + 4 + 8 + 64 + 128 = 205

11001101 = 205

Im Hexadezimalsystem verwendet man 16 Ziffern:

0–9 und A–F (A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15).

Jede Hexadezimalzahl kann direkt in Binär umgewandelt werden, da jede Hex-Ziffer genau 4 Bits entspricht:

Hex	Binär
0	0000
1	0001
2	0010
3	0011
4	0100
5	0101
6	0110
7	0111
8	1000
9	1001
A	1010
B	1011
C	1100
D	1101
E	1110
F	1111

Hex-Zahl: 2F

Direkt umwandeln:

2 → 0010
F → 1111

Also ist 2F in Binär 00101111.

Binärzahl: 1101|0110

4er-Blöcke bilden (von rechts nach links): 1101 0110

Umwandeln:

1101 → D
0110 → 6

Also ist 11010110 in Hexadezimal D6.

Overflow & Underflow

Wenn eine Zahl außerhalb des darstellbaren Bereichs liegt:

Situation	Beispiel	Folge
Overflow (zu groß)	Speicher für 4 Bit: max $2^{4} - 1 = 15$ . Berechnung ergibt 20.	Bits, die nicht passen, gehen verloren. Oft wird die Zahl „umgebrochen" (modulo).
Underflow (zu klein)	Mit vorzeichenlosen Zahlen: 3 − 5 geben können?	Ungültig oder zyklisches Verhalten

4-Bit-Overflow

$1111_{2} = 15$ , addiere 1 → sollte 16 sein, passt aber nicht in 4 Bit. Mit zyklischem Verhalten: $15 + 1 \mod 2^{4} = 0$ (Bits sind 0000).

Zweierkomplement (für negative Zahlen)

Um mit negativen Zahlen rechnen zu können, nutzt man das Zweierkomplement:

Positive Zahlen (MSB = 0): ganz normal.
Negative Zahlen (MSB = 1): alle Bits flippen + 1 addieren.

Dezimal	8-Bit Binär (Zweierkomplement)
+5	`0000 0101`
−5	flip: `1111 1010` + 1 = `1111 1011`
+127	`0111 1111` (max, MSB=0)
−128	`1000 0000` (min, MSB=1)

Vorteil: Subtraktion funktioniert wie Addition (−5 addieren = +5 subtrahieren). Die CPU braucht keine separate Subtrakt-Schaltung.

Shift-Operationen

Mit Shift-Befehlen verschieben sich die Bits um mehrere Positionen:

Links-Shift (<<): Bits nach links, rechts Nullen einfügen → entspricht Multiplikation mit 2.
```
1101 << 1  =  1010  (14 − 26, aber nur 4 Bit: Overflow)
```
Rechts-Shift (>>): Bits nach rechts, links je nach Variante:
- Logisch: Nullen einfügen (für vorzeichenlose Zahlen).
- Arithmetisch: MSB kopieren (für Zweierkomplement, erhält Vorzeichen).
```
1101 >> 1  =  1110  (arithmetisch, -3 >> 1 = -2)
1101 >> 1  =  0110  (logisch, 13 >> 1 = 6)
```
Rotation: Das rausgeschobene Bit kommt am anderen Ende wieder rein.